【什么是构造法-图】百科知识点

数学学习中有很多方法论，这些方法论促进了数学学科的完善和发展，因此大家必须掌握这些知识，下面学大教育网为大家带来【什么是构造法-图】百科知识点，希望能够增加大家对数学学习的了解。

构造法是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，使用题中的已知条件为原材料，运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法。

直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性。他认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。”他曾计划要把数学算术化并在数学领域中清除一切非构造性的成分及其根源。第二个强有力的倡导者是彭加勒，他主张自然数是最基本的直观，无需再作进一步的分析就可以认为是可信的，“与克隆尼克一样，他坚持所有的定义和证明都必须是构造性的。”近代构造法的系统创立者是布劳威，他完整而彻底地从哲学和数学两方面贯彻和发展了“存在必须被构造”的观点。这一学派中的主要人物还有海丁和魏尔。

他们在数学工作中的基本立场是：第一，认为数学的出发点不是集合论，而是自然数论。这就是海丁所说的：“数学开始于自然数及自然数相等概念形成之后。”所以他们不允许一般集合论概念进入数学，而将全部数学都归约为自然数算术和一种利用“展形”建造起来的构造性连续统概念的假定。第二，否认传统逻辑的普遍有效性而重建直觉派逻辑。第三，批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”。这就开始了构造法的第一阶段——直觉数学时期。

“发现集合论悖论以后，有些数学家认定了解决这些悖论引起的问题的唯一彻底的方法就是把所有的一般集合论概念都从数学中排除掉，只限于研究那些可以能行地定义或构造的对象”这就是布劳威创立直觉数学的想法。为此，他抛弃了许多通常的数学术语，引进了各种超数学原理，从而使得直觉数学难以为人读懂。同时直觉数学绝对排斥非构造性数学和传统逻辑的错误做法，无法解释后者在一定范围内的应用上的有效性。在这一点上，遭到了绝大多数数学家的反对。所以“对数学家来说，布劳威理论一直是稀奇的古董，而主要为逻辑家们感兴趣”。因而产生了另外几种构造性倾向，不象直觉数学那么走极端，它们的方案是把可容许数学对象的范围限制到某个多少是任意选定的类，而不象直觉数学那样去向传统的证明规则挑战。其中以马尔科夫及其合作者创立的“算法数学”，尤为引人注目。算法数学是一种把数学的一切概念都归约为一个基本概念——算法的构造性方法。它以递归函数理论为基础，因此，它的概念有非常严格的定义：每个函数都用它的哥德尔数的办法来处理，每个实数是一个特定的递归函数等等。它所用的方法是标准构造性的，所采纳的逻辑是直觉派逻辑。可见，马尔科夫的理论是一种不仅限制对象的类，而且限制可容许证明方法的类的“严格有穷主义”的理论，沙宁继续了马尔科夫的工作，研究了各种古典理论在马尔科夫算法数学中的模拟物。他甚至能够展述分析中象希尔伯特空间和勒贝格积分的构造性理论。由于马尔科夫的工作，使构造性方法进入了“算法数学”阶段。但是，因为这种构造法依赖于递归函数理论的术语，所以使这种算法数学外行人读起来十分困难，加之马尔科夫的后继者们似乎对于复杂理论及其在计算机科学上的应用比对于算法数学实践本身更有兴趣，使之算法数学由于缺乏合适的框架来进行数学实践，而处于一种冬眠的状态。

1967年，比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段。比肖泊通过重建现代分析的一个重要部分，重新激发了构造法的活力。他研究的课题广及测度论、对偶理论、泛函微积。尤其是他和钦基于丹尼尔积分所创立的新的构造性的测度理论，轻易地消除了对于在实直线上构造可数可加测度的可能性的种种忧虑，并且还证明了构造的连续统在一种强的意义下是不可数的。虽然比肖泊的工作植根于布劳威的工作，但是他能从直觉数学的自我禁锢的概念中解脱出来，他避免使用直觉派的超数学原理，摆脱了算法数学对递归函数——理论方法的不必要的依赖，超脱了对于形式体系的任何束缚，从而保留了进一步创新的余地。同时比肖泊采用数学上大家熟悉的习惯术语和符号，所以为一般数学家容易看懂。

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